Question

若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x³和y=ax²+

15

4

x-9都相切，則a等于（　　）

• A、-1或-

  25

  64

• B、-1或

  21

  4

• C、-

  7

  4

  或-

  25

  64

• D、-

  7

  4

  或7

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：先求出過點（1，0）和y=x³相切的切線方程，即可得到結論．

解答： 解：設直線與曲線y=x³的切點坐標為（x₀，y₀），
則函數的導數為f′（x₀）=3x₀²，
則切線斜率k=3x₀²，
則切線方程為y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
∵切線過點（1，0），
∴-x₀³=3x₀²（1-x₀）=3x₀²-3x₀³，
即2x₀³=3x₀²，
解得x₀=0或x₀=

3

2

，
①若x₀=0，此時切線的方程為y=0，
此時直線與y=ax²+

15

4

x-9相切，
即ax²+

15

4

x-9=0，
則△=（

15

4

）²+36a=0，
解得a=-

25

64

．
②若x₀=

3

2

，其切線方程為y=

27

4

x-

27

4

，
代入y=ax²+

15

4

x-9得y=ax²+

15

4

x-9=

27

4

x-

27

4

，
消去y可得ax²-3x-

9

4

=0，
又由△=0，即9+4×

9

4

×a=0，
解可得a=-1．
故a=-1或a=-

25

64

．
故選：A．

點評：本題主要考查函數切線方程的求解，根據導數的幾何意義是解決本題的關鍵．