Question

已知函數f（x）=

2

sin（ωx），其中常數ω＞0．
（1）若y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為

π

2

，求ω的值；
（2）在（1）的條件下，將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，再向下平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為

π

2

，確定函數的周期，即可求ω的值；
（2）利用三角函數的平移關系求出g（x）的表達式，由g（x）=0，求出零點方程即可得到結論．

解答： 解：（1）若y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為

π

2

，
則函數的周期T=2×

π

2

=π，
即

2π

ω

=π，解得ω=2；
（2）∵ω=2，∴函數f（x）=

2

sin2x，
將y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位得到y=

2

sin2（x-

π

6

），
再向下平移1個單位，得到函數y=g（x）=

2

sin2（x-

π

6

）+1=

2

sin（2x-

π

3

）-1．
由g（x）=

2

sin（2x-

π

3

）-1=0．
得sin（2x-

π

3

）=

1

2

=

2

2

．
即2x-

π

3

=2kπ+

π

4

或2x-

π

3

=2kπ+

3π

4

，
即x=kπ+

7π

24

或x=kπ+

13π

24

，
∵區間為[0，b]，
∴當k=0，1，2，3，4時，有10個零點，第10個零點為x=4π+

13π

24

=

109π

24

，
若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，
則b≥

109π

24

，
即b的最小值為

109π

24

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及三角函數圖象變換，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．