Question

【題目】已知二次函數y=f（x）滿足f（0）=3，且f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數在區間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）；
（3）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c，則f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，

∵f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c=2ax+a+b=2x﹣1，

∴2a=2，a+b=﹣1，

∴a=1，b=﹣2，

∵f（0）=3

∴c=3，

則f（x）=x2﹣2x+3

（2）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，對稱軸為x=1，

當﹣2＜t≤4時，g（t）=f（﹣2）=11；，

當t＞4時，g（t）=f（t）=t2﹣2t+3，

∴g（t）= ；

（3）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，

則f（x）min=f（1）=2，

∴2m≥2，

∴m≥1，

∴y=f（x）在[m，n]上為增函數，

∴ ，

∴m，n即為方程x2﹣2x+3=2x的兩個相異實根，且m＜n，

∴m=1，n=3，

∴存在m=1，n=3滿足條件

【解析】（1）先設出二次函數y=f（x）的解析式，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1求得系數a，b的值，再由f（0）=3求得系數c的值，即可求得二次函數的解析式；（2）根據二次函數的對稱性對t進行分類討論求得函數在區間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值函數g（t）；（3）先判斷函數f（x）在[m，n]上為增函數，若滿足題設條件的m，n存在則從而求得m，n的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．