Question

若對任意實數(shù)x，都有f（x）=log_a（2+e^x-1）≤-1，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先對a進行分類討論：當a＞1時，由log_a（2+e^x-1）≤-1，不可能對任意的實數(shù)x恒成立；當0＜a＜1時，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得出2+e^x-1的最小值≥

1

a

，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：當a＞1時，由log_a（2+e^x-1）≤-1，得：
2+e^x-1≤

1

a

，由于2+e^x-1→+∞，故2+e^x-1≤

1

a

，不可能對任意的實數(shù)x恒成立；
當0＜a＜1時，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得：
2+e^x-1≥

1

a

，
故2+e^x-1的最小值≥

1

a

，
即

1

a

≤2，
∴a≥

1

2

，
∴

1

2

≤a＜1，
故答案為：[

1

2

，1）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．