Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ．以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x﹣y+ =0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，若斜率為k（k≠0）的直線l與x軸、橢圓C順次相交于A，M，N（A點在橢圓右頂點的右側），且∠NF2F1=∠MF2A．求證直線l恒過定點，并求出斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓C： =1（a＞b＞0）可知焦點在x軸上，

離心率e= = ，

∴e2= = = ，即a2=2b2．

∵以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x﹣y+ =0相切，

∴原點到直線x﹣y+ =0的距離為b，

b= = =1，

∴b2=1，a2=2，

∴橢圓方程為 +y2=1

（2）解：由題意，設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1，

由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

∵∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°， + =0．

又F2（1，0），

則 + =0，即 + =0，

化簡得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．

將x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入上式，求得m=﹣2k，

∴直線l的方程為y=kx﹣2k=k（x﹣2），

∴直線過定點（2，0）．

將m=﹣2k代入m2＜2k2+1，

得4k2＜2k2+1，即k2＜ ，

又∵k≠0，

∴直線l的斜率k的取值范圍是（﹣ ，0）∪（0， ）

【解析】（1）由題意可知：橢圓焦點在x軸上，離心率e= = ，求得a2=2b2 ． 由原點到直線x﹣y+ =0的距離為b，即b= = =1，即可求得2=2，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程，由△＞0，求得m2＜2k2+1，由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°， + =0，由直線的斜率公式，求得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．即可求得m=﹣2k，代入直線方程求得y=kx﹣2k=k（x﹣2），則直線過定點（2，0），由m2＜2k2+1，即可求得斜率k的取值范圍．