Question

【題目】已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（ ，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+ 與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且 ＞2（其中O為原點）．求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設雙曲線方程為 （a＞0，b＞0）．

由已知得 ．

故雙曲線C的方程為 ．

（2）解：將 ．

由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

即 ．①

設A（xA，yA），B（xB，yB），

則 ，

而 = ．

于是 ．②

由①、②得 ．

故k的取值范圍為 ．

【解析】（1）由雙曲線的右焦點與右頂點易知其標準方程中的c、a，進而求得b，則雙曲線標準方程即得；（2）首先把直線方程與雙曲線方程聯立方程組，然后消y得x的方程，由于直線與雙曲線恒有兩個不同的交點，則關于x的方程必為一元二次方程且判別式大于零，由此求出k的一個取值范圍；再根據一元二次方程根與系數的關系用k的代數式表示出xA+xB ， xAxB ， 進而把條件 ＞2轉化為k的不等式，又求出k的一個取值范圍，最后求k的交集即可．