Question

【題目】已知函數有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

試題（Ⅰ）求導，根據導函數的符號來確定（主要要根據導函數零點來分類）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結論來證明，由單調性可知等價于，即．設，則．則當時，，而，故當時，．從而，故．

試題解析：（Ⅰ）．

（Ⅰ）設，則，只有一個零點．

（Ⅱ）設，則當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．

又，，取滿足且，則

，

故存在兩個零點．

（Ⅲ）設，由得或．

若，則，故當時，，因此在單調遞增．又當時，所以不存在兩個零點．

若，則，故當時，；當時，．因此在單調遞減，在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．

綜上，的取值范圍為．

（Ⅱ）不妨設，由（Ⅰ）知，，在單調遞減，所以等價于，即．

由于，而，所以

．

設，則．

所以當時，，而，故當時，．

從而，故．