【題目】設橢圓
的焦點在
軸上，離心率為
，拋物線
的焦點在
軸上， 
的中心和
的頂點均為原點，點
在
上，點
在
上，
（1）求曲線
， 
的標準方程；
（2）請問是否存在過拋物線
的焦點
的直線
與橢圓
交于不同兩點
，使得以線段
為直徑的圓過原點
？若存在，求出直線
的方程；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
， 
；（2）不存在.
【解析】試題分析：（1）利用待定系數法設
的方程為
，根據離心率
和點
在
上，列出方程組，解出
，故得其方程，根據題意可設
的方程為
，由
可得最后結果；（2）將以線段
為直徑的圓過原點
等價轉化為
，假設存在，首先驗證斜率不存在時不滿足題意，當斜率不存在時，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理可得結果.
試題解析：（1）設
的方程為
，則
.所以橢圓
的方程為
.點
在
上，設
的方程為
，則由
，得
.所以拋物線
的方程為
.
（2）因為直線
過拋物線
的焦點
.當直線
的斜率不存在時，點
，或點
，顯然以線段
為直徑的圓不過原點
，故不符合要求；
當直線
的斜率存在時，設為
，則直線
的方程為
，
代入
的方程，并整理得
.
設點
，則
，
.
因為以線段
為直徑的圓過原點
，所以
，所以
，所以
，所以
.化簡得
，無解.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學，傳誦經典”考試，并從中隨機抽取了100名考生的成績（得分均為整數,滿足100分）進行統計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優秀生，請根據頻率分布表中所提供的數據，用頻率估計概率，回答下列問題.
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 5 | 0.05 |
|
| 0.20 |
| 35 |
|
| 25 | 0.25 |
| 15 | 0.15 |
合計 | 100 | 1.00 |
（1）求
的值并估計這100名考生成績的平均分；
（2）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動，求其中優秀生的人數；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設點
到坐標原點的距離和它到直線
的距離之比是一個常數
．
（1）求點
的軌跡；
（2）若
時得到的曲線是
，將曲線
向左平移一個單位長度后得到曲線
，過點
的直線
與曲線
交于不同的兩點
，過
的直線
分別交曲線
于點
，設
， 
， 
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，以極點
為坐標原點，極軸為
的正半軸建立平面直角坐標系
.
（1）求
和
的參數方程；
（2）已知射線
，將
逆時針旋轉
得到
，且
與
交于
兩點， 
與
交于
兩點，求
取得最大值時點
的極坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 
是奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x2+px+q與函數y=f（f（f（x）））有一個相同的零點，則f（0）與f（1）（ ）
A.均為正值
B.均為負值
C.一正一負
D.至少有一個等于0
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
）．
（1）當
時，求函數
的極值點；
（2）若函數
在區間
上恒有
，求實數
的取值范圍；
（3）已知
，且
，在（2）的條件下，證明數列
是單調遞增數列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
(
為自然對數的底數).
(1)設曲線
在
處的切線為
，若
與點
的距離為
，求
的值；
(2)若對于任意實數
， 
恒成立，試確定
的取值范圍；
(3)當
時，函數
在
上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.
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