Question

【題目】已知圓:,直線.

(1)若直線與圓相切,求的值;

(2)若直線與圓交于不同的兩點,當∠AOB為銳角時,求k的取值范圍;

(3)若,是直線上的動點,過作圓的兩條切線,切點為,探究:直線是否過定點。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）或； （3） .

【解析】

（1）由直線l與圓O相切，得圓心O（0，0）到直線l的距離等于半徑r=，由此能求出k．

（2）設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），將直線l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判斷式、向量的數量積公式能求出k的取值范圍．

（3）由題意知O，P，C，D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，設P（t，），其方程為，C，D在圓O：x2+y2=2上，求出直線CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，聯立方程組能求出直線CD過定點（）．

(1)由圓心O到直線l的距離，可得k=±1。

(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

將直線l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,

所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1當∠AOB為銳角時,

則

,可得k2<>

又因為k2>1,故k的取值范圍為或。

(3)設切點C,D的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

動點P的坐標為(x0,y0),則過切點C的切線方程為:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2

同理,過切點D的切線方程為:x0·x2+y0·y2=2,

所以過C,D的直線方程為:x0·x+y0·y=2

又,將其代入上式并化簡整理,

得,而x0∈R,

故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直線CD過定點。