Question

【題目】如圖，海上有、兩個小島相距，船將保持觀望島和島所成的視角為，現從船上派下一只小艇沿方向駛至處進行作業，且．設．

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）0晚上小艇在處發出一道強烈的光線照射島，島至光線的距離為，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1),,；(2).

【解析】

試題分析：(1)中利用兩個余弦定理得到兩個式子，分別作和和差即可得到和關于的表達式，考慮及得到的取值范圍；（2）中首先求出關于的表達式，求出導數繼而判斷增減性，最后求出最大值．

試題解析：⑴在中，，，

由余弦定理得，，

又，所以①…………1分

在中，，

由余弦定理得，

②………………………………3分

得，

得，即，……4分

又，所以，即，

又，即，所以…………6分

⑵易知，

故………………8分

又，設，

所以，，……………………9分

又，………………………………………… 10分

則在上是增函數，

所以的最大值為，即的最大值為．………………12分

（利用單調性定義證明在上是增函數，同樣給滿分；如果直接說出在上是增函數，但未給出證明，扣分．