Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）證明：ED∥平面PAB；

（2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】

【解析】（1）如圖，取PB的中點(diǎn)F，連接AF，．

∵EF是的中位線，∴EF∥BC，且EF=．（2分）

又，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．

∴DE∥AF，又DE平面ABP，AF平面ABP，∴ED∥平面PAB.（5分）

（2）如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC，可得．

過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．

過G作于，則PC⊥平面GHD，連接DH，則PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．（9分）

在中，，連接AE，．

在中，，則.

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值為.（12分）