Question

已知函數，函數是函數的導函數.

（1）若，求的單調減區間；

（2）若對任意，且，都有，求實數的取值范圍；

（3）在第（2）問求出的實數的范圍內，若存在一個與有關的負數，使得對任意時恒成立，求的最小值及相應的值.

 

Answer 1

（1）單調減區間為（2）（3）當時，的最小值為

【解析】（1）當時，， ……………1分

由解得 ………………2分

當時函數的單調減區間為；…………3分

（2）易知

依題意知

……………………………………………………5分

因為，所以，即實數的取值范圍是 ；…………6分

（3）解法一：易知，.

顯然，由（2）知拋物線的對稱軸…………7分

①當即時，且

令解得………………8分

此時取較大的根，即 ……………9分

， …………………10分

②當即時，且

令解得………………11分

此時取較小的根，即…………12分

， 當且僅當時取等號……13分

由于，所以當時，取得最小值 ………………14分

解法二：對任意時，“恒成立”等價于“且”

由（2）可知實數的取值范圍是

故的圖象是開口向上，對稱軸的拋物線…7分

①當時，在區間上單調遞增，

∴，

要使最小，只需要

………8分

若即時，無解

若即時，………………9分

解得（舍去） 或

故（當且僅當時取等號）…………10分

②當時，在區間上單調遞減，在遞增，

則，…………………11分

要使最小，則即

………………………………………………………12分

解得（舍去）

或（當且僅當時取等號）…13分

綜上所述，當時，的最小值為.………………………………14分