Question

如果對定義在R上的函數f（x），對任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有x₁（f（x₁）-f（x₂））＞x₂（f（x₁）-f（x₂）），則稱函數f（x）為“H函數”．下列函數是“H函數”的是（　　）

• A、y=x²
• B、y=-e^x+1
• C、y=2x-sinx
• D、y=lg|x|

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數為單調遞增函數，判斷函數的單調性即可得到結論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數x₁，x₂，不等式x₁（f（x₁）-f（x₂））＞x₂（f（x₁）-f（x₂））恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數f（x）是定義在R上的增函數．
對于A：函數y=x²在定義域上不單調．不滿足條件．
對于B：y=-e^x+1為減函數，不滿足條件．
對于C：y=2x-sinx，y′=2-cosx＞0，函數單調遞增，滿足條件．
對于D：y=lg|x|在定義域上不單調，不滿足條件，
故選：C．

點評：本題主要考查函數單調性的應用，將條件轉化為函數的單調性的形式是解決本題的關鍵．