Question

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄如下：、、、．
（1）經判斷點，在拋物線上，試求出的標準方程；
（2）求拋物線的焦點的坐標并求出橢圓的離心率；
（3）過的焦點直線與橢圓交不同兩點且滿足，試求出直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

試題分析：（1）先設拋物線，然后將或代入可得，從而確定了的方程，也進一步確定、不在上，只能在上；設：，把點、代入得，求解即可確定的方程；（2）由（1）中所求得的方程不難得到的焦點及橢圓的離心率；（3）先假設所求直線的方程（或，不過此時要先驗證直線斜率不存在的情況），然后聯立直線與橢圓的方程，消去消去，得，得到，再得到，要使，只須，從中求解即可得到，從而可確定直線的方程.
試題解析：（1）設拋物線，則有，而、在拋物線上      2分
將坐標代入曲線方程，得      3分
設：，把點、代入得
解得
∴方程為                 6分
（2）顯然，，所以拋物線焦點坐標為
由（1）知，，
所以橢圓的離心率為               8分
（3）法一：直線過拋物線焦點，設直線的方程為，兩交點坐標為，
由消去，得            10分
∴①

②         12分
由，即，得
將①②代入（*）式，得，解得    14分
所求的方程為：或       15分
法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意           9分
當直線斜率存在時，直線過拋物線焦點，設其方程為，與的交點坐標為
由消掉，得，    10分
于是，①

即②         12分
由，即，得
將①、②代入（*）式，得
解得    14分
故所求的方程為或   15分.