Question

已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合,且該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn).
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，直線與的斜率之積為，求證：存在定點(diǎn)，
使得為定值，并求出的坐標(biāo)；
（3）若在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)在軸的射影為，連接 并延長(zhǎng)交橢圓于
點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）存在;（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設(shè)，由,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到使得為定值；（3）要證明以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，就是證明,詳見解析.
試題解析：（1）解：由題設(shè)可知：雙曲線的焦點(diǎn)為，
所以橢圓中的
又由橢圓的長(zhǎng)軸為4得
故 
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 
（2）證明：設(shè)，由可得：

由直線與的斜率之積為可得：
 ，即 
由①②可得：…6分
M、N是橢圓上，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值;
（3）證明：設(shè)
由題設(shè)可知 
由題設(shè)可知斜率存在且滿足.……③
 
將③代入④可得：…⑤  
點(diǎn)在橢圓，故 
所以 
因此以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).