Question

【題目】如圖所示，傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點.

（1）求拋物線的焦點的坐標及準線的方程；

（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點.證明為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；定值為8

【解析】

（1）根據拋物線標準方程得，從而易得焦點坐標和準線方程；

（2）設點的坐標分別為.直線的斜率為，則直線方程為，代入拋物線方程整理后可和，這樣可得中點的坐標，由直線與垂直可得的方程，在此方程中令得，計算化簡得定值．

解（1）設拋物線的標準方程為，則，從而.

因此焦點的坐標為（2，0），又準線方程的一般式為.

從而所求準線的方程為.

（2）設點的坐標分別為.直線的斜率為，則直線方程為.將此式代入，得.

故.

記直線與的交點為，則，.

故直線的方程為.

令，得點的橫坐標，故

.

從而為定值.