Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）取得極小值為，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）.

【解析】

（1）求函數的導數，令導數等于零，解方程，再求出函數的導數和駐點，然后列表討論，求函數的單調區間和極值；

（2）若在區間上存在一點，使得成立，其充要條件是在區間上的最小值小于即可．利用導數研究函數在區間上的最小值，先求出導函數，然后討論研究函數在上的單調性，將的極值點與區間的端點比較，確定其最小的極值點．

解：的定義域為，

因為，

（1）當時，，令，得，

又的定義域為，

，隨的變化情況如下表:

		1
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

所以時，取得極小值為．

的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）因為，且．

令，得，

若在區間上存在一點，使得成立，

其充要條件是在區間上的最小值小于0即可．

當，即時，對成立，

所以，在區間上單調遞減，

故在區間上的最小值為，

由，得，即．

當，即時，

若，則對成立，

所以在區間上單調遞減，

所以，在區間上的最小值為

，

顯然，在區間上的最小值小于不成立．

若，即時，則有

	單調遞減	極小值	單調遞增

所以在區間上的最小值為．

由，

得，解得，即．

綜上，由可知符合題意．