Question

【題目】已知函數f（x）=lnx．
（1）求函數g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；
（2）若對任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若x1＞x2＞0，求證： ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx，

∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，

∴ ．

當x∈（﹣1，0）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上單調遞增；

當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在（0，+∞）上單調遞減，

∴g（x）在x=0處取得最大值g（0）=0

（2）解：∵對任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，

∴ 在x＞0上恒成立，

進一步轉化為 ，

設h（x）= ，則 ，

當x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，

∴h（x） ．

要使f（x）≤ax恒成立，必須a ．

另一方面，當x＞0時，x+ ，

要使ax≤x2+1恒成立，必須a≤2，

∴滿足條件的a的取值范圍是[ ，2]

（3）解：當x1＞x2＞0時， ＞ 等價于 ．

令t= ，設u（t）=lnt﹣ ，t＞1

則 ＞0，

∴u（t）在（1，+∞）上單調遞增，

∴u（t）＞u（1）=0，

∴ ＞

【解析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求導確定單調區間，極值，最值即可求．（2）本小題轉化為 在x＞0上恒成立，進一步轉化為 ，然后構造函數h（x）= ，利用導數研究出h（x）的最大值，再利用基礎不等式可知 ，從而可知a的取值范圍．（3）本小題等價于 ．令t= ，設u（t）=lnt﹣ ，t＞1，由導數性質求出u（t）＞u（1）=0，由此能夠證明 ＞ ．