Question

如圖，一簡單幾何體ABCDE的一個面ABC內接于圓O，G、H分別是AE、BC的中點，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）證明：GH∥平面ACD；
（Ⅱ）若AC=BC=BE=2，求二面角O-CE-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結GO，OH，證明GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，利用平面與平面平行的判定定理證明平面GOH∥平面ACD．然后證明GH∥平面ACD．
（Ⅱ）以CB為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標系，求出C，B，A（，O，E的坐標，平面BCE的法向量

m

，平面OCE的法向量

n

．二面角O-CE-B是銳二面角，記為θ，利用空間向量的數量積求解cosθ即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連結GO，OH
∵GO∥AD，OH∥AC…（2分）
∴GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，又GO交HO于O…（.4分）
∴平面GOH∥平面ACD…（5分）
∴GH∥平面ACD…（6分）
（Ⅱ）以CB為x軸，CA為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標系
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
平面BCE的法向量

m

=（0，1，0），設平面OCE的法向量

n

=（x₀．y₀．z₀）．…（8分）

CE

=（2，0，2），

CO

=（1，1，0）．
∴

n • CE =0 n • CO =0

則

2x0+2z0=0 x0+y0=0

，
令x₀=-1，∴

n

=（-1，1，1）．…（10分）
∵二面角O-CE-B是銳二面角，記為θ，則
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

| m || n |

=

1

1× 3

=

3

3

…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的證明，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．