Question

設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，當a，b∈（0，+∞）時，均有f（a•b）=f（a）+f（b），已知f（2）=1．求：
（1）f（1）和f（4）的值；
（2）不等式f（x²）＜2f（4）的解集．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（a•b）=f（a）+f（b），令a=b=1得，令a=b=2，從而解得．
（2）化簡f（x²）＜2f（4）得f（x²）＜f（16）；從而由函數的單調性求解．

解答： 解：（1）∵f（a•b）=f（a）+f（b），
令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令a=b=2，則f（4）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵f（x²）＜2f（4），
∴f（x²）＜f（16）；
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴0＜x²＜16；
故-4＜x＜0或0＜x＜4；
故不等式f（x²）＜2f（4）的解集為（-4，0）∪（0，4）．

點評：本題考查了抽象函數的應用及單調性的應用，屬于基礎題．