Question

若F₁F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且滿足

F1O

=

PM

，

OP • OM

| OP || OM |

=

OF1 • OP

| OF1 || OP |

（1）求此雙曲線的離心率；
（2）若此雙曲線過點N（2，

3

），求雙曲線方程；
（3）設（2）中雙曲線的虛軸端點為B₁，B₂（B₁在y軸正半軸上），求B₂作直線AB與雙曲線交于A B兩點，求

B1A

⊥

B1B

時，直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先由

F1D

=

PM

知四邊形PF₁OM為平行四邊形，再利用

OP • OF1

| OP || OF1 |

=

OM • OP

| OM || OP |

得PF₁OM為菱形，所以就有

c+2a

c

=e
求出離心率e即可．
（2）由（1）求出的離心率e以及雙曲線過點N（2，

3

），可以求出c，a進而求出雙曲線方程；
（3）先設出直線AB的方程，再與雙曲線方程聯立，求出關于A，B兩點坐標的方程，再利用

B1A

⊥

B1B

?x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，就可求出對應的直線的斜率，進而求出直線AB的方程．

解答：解：（1）由

F1D

=

PM

知四邊形PF₁OM為平行四邊形，
又由

OP • OF1

| OP || OF1 |

=

OM • OP

| OM || OP |

知OP平分∠F₁OM，∴PF₁OM為菱形，
設半焦距為c，由|

OF1

|=c 知|

PF1

|=c，
|

PM

|=c，∴|

PF2

|=|

PF1

|+2a=c+2a，
又

| PF2 |

| PM |

=e，即

c+2a

c

=e
e²-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=

c

a

∴c=2a，∴雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
將點（2，

3

）代入，有

4

a2

-

3

4a2

=1∴a²=3．
即所求雙曲線方程為

x2

3

-

y2

9

=1．（8分）
（3）依題意得B₁（0，3），B₂（0，-3）
設直線AB的方程為y=kx-3，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
則由

y=kx-3 x2 3 - y2 9 =1

?(3-k2)x2+6kx-18=0．
∵雙曲線的漸近線為y=±

3

x，∴k=±

3

時，AB與雙曲線只有一個交點，
即k≠±

3

∵x₁+x₂=-

6k

3-k2

，x₁•x₂=

-18

3-k2

．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6=

-18

3-k2

，y₁y₂=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+9=9
又

B1A

=（x₁，y₁-3），

B1B

=（x₂，y₂-3），

B1A

⊥

B1B

?x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴

-18

3-k2

+9-3•

-18

3-k2

+9=0，即k²=5∴k=±

5

．
故所求直線AB的方程為y=

5

x-3或y=-

5

x-3．（14分）

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．