Question

若函數y=f（x）在x=x₀處取得極大值或極小值，則稱x₀為函數y=f（x）的極值點．已知a，b是實數，1和-1是函數f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點．
（1）求a和b的值；
（2）設函數g（x）的導函數g'（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導函數，然后根據1和-1是函數f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點，則f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程組，解之即可求出a與b的值；
（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函數的單調性，從而函數的g（x）的極值點．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函數f（x）=x³+ax²+bx的兩個極值點，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g'（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2），解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵當x＜-2時，g'（x）＜0；當-2＜x＜1時，g'（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的極值點．
∵當-2＜x＜1或x＞1時，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的極值點．
∴g（x）的極值點是-2．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，同時考查了計算能力和運算求解的能力，屬于中檔題．