已知橢圓
的中心在坐標(biāo)原點，兩個焦點分別為
，
，點
在橢圓 上，過點
的直線
與拋物線
交于
兩點，拋物線
在點處的切線分別為
，且
與
交于點
.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足
的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.
（1）
. (2)滿足條件的點有兩個.
解析(1)試題分析：解法1：設(shè)橢圓的方程為
,依題意: 
解得: 
∴ 橢圓的方程為.
解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得
，即
， ∵
， ∴
. ∴ 橢圓的方程為.
(2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為
，
由
消去
，得
.
設(shè)
,則
.
由
,即
得
.
∴拋物線
在點
處的切線的方程為
，即
.
∵
， ∴
.
同理,得拋物線在點
處的切線的方程為
.
由
解得
∴
. ∵,
∴點在橢圓
上. ∴
.
化簡得
.(*) 由
,
可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. ∴滿足條件的點有兩個.
解法2：設(shè)點
,
，
，由,即得.
∴拋物線在點處的切線的方程為，
即.∵， ∴
.
∵點在切線上, ∴
. ①
同理， 
. ② 綜合①、②得，點
的坐標(biāo)都滿足方程
.∵經(jīng)過
應(yīng)用題點撥系列答案
狀元及第系列答案
同步奧數(shù)系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的離心率為
，
軸被曲線
截得的線段長等于
的短軸長。
與
軸的交點為
，過坐標(biāo)原點
的直線
與相交于點
，直線
分別與相交于點
。
（1）求、的方程；
（2）求證：
。
（3）記
的面積分別為
，若
，求
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知橢圓的長軸長為
，焦點是
，點
到直線
的距離為
，過點
且傾斜角為銳角的直線
與橢圓交于A、B兩點，使得|
=3|
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求直線l的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的右焦點
與拋物線
的焦點重合，過作與
軸垂直的直線與橢圓交于
，而與拋物線交于
兩點，且
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若過
的直線與橢圓相交于兩點
和
，
設(shè)
為橢圓上一點，且滿足
（
為坐標(biāo)原點），求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為
(α為參數(shù))．
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標(biāo)為(4，
)，判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知坐標(biāo)平面上點
與兩個定點
的距離之比等于5.
(1)求點
的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
(2)記(1)中的軌跡為
，過點
的直線
被所截得的線段的長為8，求直線的方程
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)
,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量
,向量
,
,動點
的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
（2）已知
,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且
(O為坐標(biāo)原點),并求出該圓的方程;
（3）已知,設(shè)直線
與圓C:
(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當(dāng)R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
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為橢圓
的左、右焦點，
是橢圓上一點，若
。
求
的面積。
與它在點
和點
的切線所圍成的區(qū)域的面積。