Question

已知橢圓的長軸長為，焦點是，點到直線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點，使得|=3|.
(1)求橢圓的標準方程；         
(2)求直線l的方程．

Answer 1

(1) ＋y²＝1；(2) x－y－＝0.

解析試題分析：(1)∵F₁到直線的距離為，∴.
∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.
∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y²＝1  4分
(2)設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)問知
=3,
∴           6分
∵A、B在橢圓＋y²＝1上，                 
∴l的斜率為
∴l的方程為，即x－y－＝0.   12分
說明：各題如有其它解法可參照給分．
考點：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質，定比分點坐標公式，直線方程。
點評：中檔題，涉及求橢圓的標準方程問題，往往聯想橢圓的定義，a，b，c，e的關系。求直線方程，這里運用了點斜式，為求直線的斜率，應用定比分點坐標公式及“點差法”。