Question

【題目】橢圓 =1上有一點M（﹣4， ）在拋物線y2=2px（p＞0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點N在拋物線上，過N作準線l的垂線，垂足為Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =1上的點M在拋物線y2=2px（p＞0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點．

∴c=﹣4，p=8…①

∵M（﹣4， ）在橢圓上，∴ …②

又∵a2=b2+c2…③

∴由①②③解得：a=5、b=3，

∴橢圓為 ；

由p=8得拋物線為y2=16x

（2）解：設橢圓焦點為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|，

∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|= ，即為所求的最小值．

【解析】（1）由題意求得c=﹣4，得到p=8，再由點M（﹣4， ）在橢圓上，結合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程和拋物線方程可求；（2）由題意畫出圖形，由拋物線定義把|MN|+|NQ|的最小值轉化為|MF|求解．