Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ，點是邊的中點，將沿折起，使平面平面，連接， ， ，得到如圖所示的幾何體．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）若， 與其在平面內的正投影所成角的正切值為，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）由翻折前后線面間的關系，根據線面垂直可證明線線垂直，可得，又，據線面垂直定理可得 ⊥平面；（II）由的正投影的正切角可求出圖中各邊的值，將點到平面的距離可看作三棱錐底面上的高．利用體積可求．求三棱錐的體積即求的體積．

試題解析：

(Ⅰ) 因為平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面.

因為平面，所以⊥

又因為折疊前后均有⊥， ∩,

所以⊥平面.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以在平面內的正投影為，

即∠為與其在平面內的正投影所成角.

依題意，

因為 所以.

設，則,

因為△～△，所以，

即，

解得，故.

由于⊥平面， ⊥, 為的中點,

由平面幾何知識得,

同理,

所以.

因為⊥平面，所以.

設點到平面的距離為,

則,

所以，即點到平面的距離為.