Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD，

(1)證明：平面AEC⊥平面BED.

(2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）3+2.

【解析】試題分析：（1）由菱形性質得AC⊥BD.再由線面垂直性質得AC⊥BE，因此AC⊥平面BED.最后根據面面垂直判定定理得結論（2）先確定各面形狀，再根據勾股定理求對應量，最后根據面積公式求各面面積，和為側面積

試題解析：(1)因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.

因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BD∩BE=B，故AC⊥平面BED.

又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.

(2)設AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=x，GB=GD=.

因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG=x.

由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE=x.

由已知得，三棱錐E-ACD的體積

VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=.

故x=2.從而可得AE=EC=ED=.

所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.

故三棱錐E-ACD的側面積為3+2.