Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

）且離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C上一點P向圓O：x²+y²=r²，（r＞0）引兩條切線，切點分別為A，B
（Ⅰ）若存在點P使∠APB=60°，求r的最大值；
（Ⅱ）在Ⅰ的條件下，過x軸上一點（m，0）做圓O的切線l，交橢圓C于M，N兩點，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

）且離心率為

3

2

．可得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）（I）設P（2cosθ，sinθ）．如圖所示，連接OA，OB，OP．由于OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，可得r=

1

2

|OP|=

1

2

4cos2θ+sin2θ

=

1

2

3cos2θ+1

，即可得出．
（II）當直線l的斜率不存在時，切線l的方程為：x=±1．代入橢圓方程可得|MN|=

3

．
當直線l的斜率存在時，設切線l的方程為：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用直線與圓的相切性質可得r=

|km|

1+k2

=1.1+k²=k²m²．
直線方程與橢圓方程聯立可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．△=16（1+4k²-k²m²）＞0．利用根與系數的關系可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

3

1 16- 8k2-1 k4+k2

．設k²=t＞0，令f（t）=

8t-1

t2+t

，利用導數研究其單調性可得：當t=

1

2

時，f（t）取得最大值4，|MN|取得最大值2．當t→+∞時，f（t）→0，|MN|→

3

．即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

）且離心率為

3

2

．
∴

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）（I）設P（2cosθ，sinθ）．
如圖所示，連接OA，OB，OP．
∵OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，
∴∠AOP=60°，∠APO=30°．
∴r=

1

2

|OP|=

1

2

4cos2θ+sin2θ

=

1

2

3cos2θ+1

≤

1

2

3+1

=1，
∴r的最大值是1．
（II）當直線l的斜率不存在時，切線l的方程為：x=±1．代入橢圓方程可得y=±

3

2

，此時|MN|=

3

．
當直線l的斜率存在時，設切線l的方程為：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則r=

|km|

1+k2

=1．可得1+k²=k²m²．
聯立

y=k(x-m) x2+4y2=4

，
化為（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．
△=64k⁴m²-4（1+4k²）（4k²m²-4）=16（1+4k²-k²m²）＞0．
∴x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 (1+k2)(1+4k2-k2m2)

1+4k2

=4

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

=4

3

1 16- 8k2-1 k4+k2

．
設k²=t＞0，令f（t）=

8t-1

t2+t

，f′（t）=

8(t2+t)-(8t-1)(2t+1)

(t2+t)2

=

-(4t+1)(2t-1)

(t2+t)2

，可知：當t=

1

2

時，f（t）取得最大值4，
∴|MN|取得最大值2．
當t→+∞時，f（t）→0，|MN|→

3

．
綜上可得：|MN|的最小值為

3

．

點評：本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓及圓相交相切轉化為方程聯立可得△≥0及根與系數的關系、弦長公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．