Question

設，，其中是常數，且．

（1）求函數的極值；

（2）證明：對任意正數，存在正數，使不等式成立；

（3）設，且，證明：對任意正數都有：．

 

Answer 1

【答案】

(1) 當時，取極大值，但沒有極小值;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)先求導，再討論函數的單調區間，然后寫出函數的極值；(2)通過依次構造函數、和，利用導數來研究其單調性和最值情況，從而用來比較大小，最終達到證明不等式的目的; (3)先把所要證明的不等式的左邊轉變到函數的問題，得到相關的不等式，再借助(1)中的結論得到，最后取即可證得.

試題解析：（1）∵，         1分

由得，，

∴，即，解得，        3分

故當時，；當時，；

∴當時，取極大值，但沒有極小值．        4分

（2）∵，又當時，令，則

，

故，因此原不等式化為，即，

令，則，

由得：，解得，

當時，；當時，．

故當時，取最小值，  8分

令，則．

故，即．

因此，存在正數，使原不等式成立．         10分

（3）對任意正數，存在實數使，，

則，，

原不等式，

           12分

由（1）恒成立，故，

取，即得，

即，故所證不等式成立．            14分

考點：1、導數的應用，2、函數單調性的應用，3、不等式的證明.