Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，，，在線段上取一點(diǎn)，沿著過點(diǎn)的直線將矩形右下角折起，使得右下角頂點(diǎn)恰好落在矩形的左邊邊上．設(shè)折痕所在直線與交于點(diǎn),記折痕的長度為，翻折角為．

（1）探求與的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)出用表示的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)的長為，求的取值范圍；

（3）確定點(diǎn)在何處時(shí)，翻折后重疊部分的圖形面積最小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，翻折后重疊部分的圖形面積最小

【解析】

（1）由圖可知與的函數(shù)關(guān)系式為 =，再求函數(shù)定義域的范圍即可；

（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的值域即可；

（3）由均值不等式求函數(shù)的最值，由取等的條件求出的值即可.

解：（1）設(shè)頂點(diǎn)翻折到邊上的點(diǎn)為，由題意可得,

，因?yàn)?/span>，

所以=，

即與的函數(shù)關(guān)系式為 =，

由題意有，首先利用，可知，

解得，所以，

又由，可知，即，

即，

故與的函數(shù)關(guān)系式為 =，；

（2），

當(dāng)，，

所以，

故的取值范圍為；

（3） ，

又

（當(dāng)且僅當(dāng)= 即時(shí)取等號(hào)，

故當(dāng)時(shí)，取最小值，

故 時(shí)，取最小值.