Question

【題目】已知函數，，.

（1）求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求實數取值范圍；

（3）若當時，恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）極小值，沒有極大值； （2）； （3）2 .

【解析】

（1）直接進行求導，根據導數與原函數的關系進行極值求解

（2）由于參數的存在，故需對進行分類討論，時與題意不符，舍去，對進行導數求解，通過增減性進行辨析，當時取到極大值，此時需要判斷函數在的左右兩側存在函數值小于零的點，進而得證

（3）令，先求導，再根據恒成立問題求解參數

（1），令，得，

		極小值

所以有極小值，沒有極大值；

（2），

①時，，在單調遞增，此時至多有一個零點，這與題意不符；

②，令，得，

		極大值

因為函數有兩個零點，所以，得，

，，又在上單調，且圖象連續不間斷，所以在上有一個零點；

，

，所以在單調減，所以，

所以，，，又在上單調，且圖象連續不間斷，所以在上有一個零點；

綜上，實數取值范圍為；

（3）記

，令，

所以， ，

①時，，在上單調增，所以，符合題意；

②時，，，又在上單調增，

所以，，使得

		極小值

則當時，，這與恒成立不符，

綜上，實數的最大值為2.