Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可；

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)進(jìn)行分類討論，令，構(gòu)造，利用的單調(diào)性證明不等式即可.

試題解析：

（1）由，恒有成立，即，對(duì)任意成立,

記，，

當(dāng)，單增；當(dāng)，單減；最大值為，

所以

（2）函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

①當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， 不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴，∴，

不妨設(shè)，∵，

∴，，，

先證，即證，即證，

令，即證，設(shè)，

則，函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴，∴，又，∴，

∴