Question

【題目】已知函數在處取到極值為．

（1）求函數的單調區間；

（2）若不等式在上恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是；（2）．

【解析】

（1）求出函數的導數，結合題意得到關于a，b的方程，求出a，b的值，求出函數的單調區間即可；

（2）問題等價于在上恒成立，令，則只需即可，根據函數的單調性判斷求解即可．

解：（1）由已知定義域為，

，

由，又，得，

，所以，

所以，又．

由得：x＞2；由得：x＜0或0＜x＜2．

故f（x）的單調遞減區間是；單調遞增區間是.

（2）問題等價于在x∈上恒成立，

令，

則只需即可．

，

令，

則．

所以在上單調遞增，

又，，

所以有唯一的零點，

在上單調遞減，在上單調遞增．

因為，兩邊同時取自然對數，則有，

即．

構造函數，則，

所以函數在上單調遞增，

又，所以，即．

所以，即，

于是實數k的取值范圍是．