Question

【題目】已知正三角形ABC邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為 ，此時四面體ABCD的外接球的表面積為 ．

Answer 1

【答案】7π
【解析】解：根據題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，
三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面邊長為1，1， ，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
棱柱的高為 ，球心到底面的距離為 ，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC= ，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圓的半徑為： =1
∴球的半徑為r= = ．
外接球的表面積為：4πr2=7π．
故答案為：7π．
三棱錐B﹣ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．