Question

已知f（x）=

x2

x-1

（x＞1）．
（1）求不等式f（x）＞2x+1的解集；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,其他不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）由f（x）＞2x+1得：

x2

x-1

＞2x+1，結合x＞1，即可求不等式f（x）＞2x+1的解集；
（2）換元，利用基本不等式求函數f（x）的最小值．

解答： 解：（1）由f（x）＞2x+1得：

x2

x-1

＞2x+1，
整理得：x²-x-1＜0，…（3分）
解得：

1- 5

2

＜x＜

1+ 5

2

，…（5分）
又∵x＞1，所以不等式的解集為：(1，

1+ 5

2

)…（6分）
（2）設x-1=t，∵x＞1，∴t＞0，且x=t+1．…（7分）∴f(x)=

(t+1)2

t

=

t2+2t+1

t

=t+

1

t

+2≥2

t• 1 t

+2=4…（11分）
當且僅當t=1即x=2時取“=”號，故f（x）的最小值為4．…（12分）

點評：本題考查解不等式，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．