Question

已知數列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N₊），數列{b_n}滿足b_n=

an

3n

．
（1）證明：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a_n+1-3a_n=3ⁿ，變形

an+1

3n+1

-

an

3n

=

1

3

，可得b_n+1-b_n=

1

3

，b₁=

a1

3

=1．即可證明數列{b_n}是等差數列．
（2）由（1）可得：bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，an=bn×3n=（n+2）×3^n-1，“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式，即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+1-3a_n=3ⁿ，
∴

an+1

3n+1

-

an

3n

=

1

3

，
∴b_n+1-b_n=

1

3

，b₁=

a1

3

=1．
∴數列{b_n}是等差數列，首項為1，公差為

1

3

；
（2）解：由（1）可得：bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
∴an=bn×3n=（n+2）×3^n-1，
∴Sn=3×1+4×3+5×32+…+（n+2）×3^n-1，
∴3S_n=3×3+4×3²+5×3³+…+（n+1）×3^n-1+（n+2）×3ⁿ，
∴-2S_n=3+3+3²+…+3^n-1-（n+2）×3ⁿ=

3n-1

3-1

+2-（n+2）×3ⁿ=

3n+3

2

-（n+2）×3ⁿ，
∴S_n=-

3n+3

4

+

(n+2)×3n

2

．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．