Question

【題目】如圖，已知平面 平面， 與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形， // ，四邊形為直角梯形， // ， ，點(diǎn)為的重心， 為中點(diǎn)， .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證： //平面；

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面平行的判定定理推證；（2）借助題設(shè)運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式探求.

試題解析：

解：（Ⅰ）連延長(zhǎng)交于，

因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以

又，所以，所以// ；

因?yàn)?/span>// ， // ，所以平面//平面，

又與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，

為中點(diǎn)， 為中點(diǎn), // ,又// ，

所以// ，得四點(diǎn)共面

//平面

（Ⅱ）平面 平面，易得平面 平面，

以為原點(diǎn)， 為x軸， 為y軸， 為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，

， ，

因?yàn)?/span>與所成角為，所以，

得， ， ，

設(shè)平面的法向量，則，取，

面的法向量，所以二面角的余弦值。