Question

【題目】已知函數，其中為常數，為自然對數的底數．

（Ⅰ）若在區間，上的最小值為1，求的值；

（Ⅱ）若“，使”為假命題，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數,利用導數判斷函數的單調性,求函數的極值即最值,由題意知, 函數的最小值只能在或處取得,分別解方程求解即可.

（Ⅱ）若“，使”為假命題，等價于，為真命題,即，恒成立,通過分離參數法和構造函數法,令,結合導數判斷函數的單調性,由零點存在性定理求出函數的最小值,進而求出實數的取值范圍即可.

（Ⅰ）由題意知,函數的導數為，

所以當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以當時有極大值即最大值，

即有的最小值只能在或處取得．

若（1）,解得,此時與函數最小值為1相矛盾，

故不符合題意；

若（e），解得，此時符合題意；

綜上可知；

（Ⅱ）若“，使”為假命題，

即，為真命題，

等價于，可得恒成立,

化簡可得，恒成立，

令,則，

令，則在上單調遞增，

因為,，

由零點存在性定理知,函數在，存在唯一零點，

即有，則，

兩邊同時取以為底的對數可得，，

所以當時，，即，單調遞減，

當時，，即，單調遞增，

所以當時,函數有極小值即最小值,

，

所以實數的取值范圍為．