Question

【題目】在四棱錐中，底面為菱形，，平面，且，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接AC，交BD于點O，連接PO，則PO與CF相交，設交點為E，則AC⊥BD，PC⊥BD，BD⊥CF，PO⊥CF，由此能證明CF⊥平面PDB；

（2）過點P作PG，使得 PG=BC，則GP∥AD∥BC，從而二面角AD-P-BC，即二面角C-PG-D，在平行四邊形ADGP中，過點P作AD的垂線，垂足為H，則∠HPC即所求二面角的平面角，由此能求出平面ADP與平面BCP所成銳二面角的余弦值；

（1）連接，交于點，連接，

由于，平面，所以與相交，設交點為，

∵底面為菱形，

∴，

又∵平面，

∴，∴平面，

又∵平面∴，

在中，∵，∴，，

，，

，，

∴，又因為兩個角都是銳角，

∴，則，即，

∵，、平面，

∴平面

（2）過點作，使得，

∵底面為菱形，

∴，所以二面角即二面角，

在中，過點作的垂線，垂足為，則，

又∵平面，∴∴，

∴即所求二面角的平面角，

∵，∴平面∴

又∵，∴，

在中，，，，∴，

∴，即所求二面角的平面角的余弦值為.