Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， an＞0，且滿足：（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N* ．
（1）求a1及通項公式an；
（2）若bn=（﹣1）nan ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（an+2）2=4Sn+4n+1，n∈N*，∴ =4a1+5，a1＞0，解得a1=1．

n≥2時， =4Sn﹣1+4（n﹣1）+1，相減可得： =0，an＞0，化為：an﹣an﹣1=2．

∴數列{an}是等差數列，公差為2，首項為1．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解：bn=（﹣1）nan=（﹣1）n（2n﹣1）．

n=2k（k∈N*）時，b2k﹣1+b2k=﹣（2n﹣1）+（2n+1）=2．

∴數列{bn}的前n項和Tn=n．

n=2k﹣1（k∈N*）時，b2k+b2k+1=（2n﹣1）﹣（2n+1）=﹣2．

∴數列{bn}的前n項和Tn=﹣1﹣ =﹣n．

∴Tn= ，k∈N*

【解析】（1）利用數列遞推關系、等差數列的通項公式即可得出．（2）對n分類討論，利用分組求和即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．