Question

（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設函數．數列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數在區間是增函數；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，整數．證明：．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ），上為增函數
（Ⅱ）當時，,又由（Ⅰ）及時，,因此當時,              ①
下面運用數學歸納法可以證明                        ②
（ⅰ）由，，應用式①得當，即得當時，不等式②成立.
（ⅱ）假設當時，不等式②成立，即，則由①可得，即，故當時，不等式②成立
綜合（ⅰ）（ⅱ）證得，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐項遞增，故若存在正整數，使得，則，否則若，則由知， ③由③知
于是