Question

【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝－1.其中>0且≠1.

(1)求f(2)＋f(－2)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)解關于x的不等式－1<f(x－1)<4．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由函數是奇函數，即可求得的值；

（2）設，則，求得，根據函數是奇函數，即可化簡求得函數的解析式；

（3）分類討論，得出不等式組，利用對數函數的性質，即可求解.

(1)∵f(x)是奇函數，

∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.

(2)當x<0時，－x>0，

∴f(－x)＝a－x－1.

由f(x)是奇函數，有f(－x)＝－f(x)，

∵f(－x)＝a－x－1，

∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．

∴所求的解析式為f(x)＝ .

(3)不等式等價于 或，

即或.

當a>1時，有 或，

注意此時loga2>0，loga5>0，可得此時不等式的解集為(1－loga2,1＋loga5)．

同理可得，當0<a<1時，不等式的解集為R.

綜上所述，當a>1時，不等式的解集為(1－loga2,1＋loga5)；

當0<a<1時，不等式的解集為 .