Question

設數列的前項和為，若對任意，都有.
⑴求數列的首項；
⑵求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
⑶數列滿足，問是否存在，使得恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

⑴；⑵ ；⑶。

試題分析：⑴∵ ∴             3分
⑵∵   ∴    (≥2)
∴                          5分
∴
∴(為常數) (≥2)
∴數列是以為公比的等比數列                      7分
∴                                     10分
⑶∵      ∴
∴                  12分
                 14分
∴當≥3時，＜1； 當=2時，＞1
∴當2時，有最大值 
∴                                      15分
∴                                          16分
點評：中檔題，本題具有較強的綜合性，本解答根據的關系確定通項公式，認識到數列的特征。對于存在性問題，往往先假設存在，本題通過考察 的單調性，利用“放縮法”，證明假設的合理性。