Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6．

【解析】

試題分析:（1）在折疊前，根據平幾知識得BE⊥AC.從而折疊后BE⊥A1O，BE⊥OC，再根據線面垂直判定定理得結果（2）由面面垂直性質定理得A1O⊥平面BCDE，再根據錐體體積公式得關于a的方程，解得a的值．

試題解析：(1)證明：在題圖①中，因為AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點，∠BAD＝，所以BE⊥AC.

即在題圖②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，

從而BE⊥平面A1OC，

又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，

又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，

即A1O是四棱錐A1BCDE的高．

由題圖①知，A1O＝AB＝a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2.

從而四棱錐A1BCDE的體積為V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.