Question

【題目】在正三棱錐中，M是SC的中點，且，底面邊長，則正三棱錐的外接球的表面積為_______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

取中點，連接；根據等腰三角形三線合一和線面垂直的判定定理可證得平面，從而得到；根據線面垂直的判定定理知平面，根據線面垂直性質知，；由正三棱錐的結構特征知兩兩互相垂直，從而可將所求外接球轉化為正方體的外接球；根據正方體外接球半徑為體對角線的一半可求得半徑，進而得到所求表面積.

取中點，連接，

三棱錐為正三棱錐 ， ，，

平面， 平面，

平面 ，

又，平面， 平面，

平面 ，，

由正棱錐側面全等可知：，即兩兩互相垂直，

可將三棱錐放入如下圖所示的正方體中，其中，

則三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

正方體外接球半徑：，

所求外接球的表面積：，

故答案為：