Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，左，右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，△AF2B的周長為8，

（1）求該橢圓C的方程．

（2）設P為橢圓C的右頂點，Q為橢圓C與y軸正半軸的交點，若直線l：yx+m，（﹣1＜m＜1）與圓C交于M，N兩點，求P、M、Q、N四點組成的四邊形面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（2，2]

【解析】

（1）△AF2B的周長為8可得4a=8,結合離心率為，即得解a,b,c；

（2）聯立直線l：yx+m和橢圓方程，用m表示Q（0，1）到直線MN的距離d1，P（2，0）到直線MN的距離為d2，再表示四邊形面積S，求出S的范圍即可.

（1）由已知可得，解得

橢圓C的方程：．

（2）

設M（x1，y1），N（x2，y2），

x2+2mx+2m2﹣2＝0．

x1+x2＝﹣2m，x1x2═2m2﹣2，

|MN|，（﹣1＜m＜1）

Q（0，1）到直線MN的距離d1，

P（2，0）到直線MN的距離為d2．

P、M、Q、N四點組成的四邊形面積S|MN|（d1+d2）2

∵﹣1＜m＜1，∴0≤m2＜1，

∴2∈（2，2]，

∴P、M、Q、N四點組成的四邊形面積S的取值范圍為（2，2]