Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱錐的體積為，則該球的體積為_____．

Answer 1

【答案】8π．

【解析】

首先根據條件求出PA，再把四棱錐P﹣ABCD補成一個以ABCD為底、PA為側棱的長方體，則這個長方體的外接球就是四棱錐P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中點，求出長方體的體對角線長，即得解.

設此球半徑為R，

因底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱錐的體積為，

則2×2×PA，∴PA＝4，

可以把四棱錐P﹣ABCD補成一個以ABCD為底、PA為側棱的長方體，

則這個長方體的外接球就是四棱錐P﹣ABCD的外接球，球心O就是PC的中點，

∴（2R）2＝PC2＝AP2+AB2+BC2＝42+22+22＝24，∴R，

則該球的體積為．

故答案為：.