Question

（1）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

16

+

y2

9

=1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，求雙曲線的方程．
（2）P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點(diǎn)和離心率，即可得到雙曲線的焦點(diǎn)和離心率，再由a，b，c的關(guān)系及離心率公式，即可得到雙曲線方程；
（2）利用橢圓定義求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，通過余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面積公式即可．

解答： 解：（1）橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（-

7

，0），（

7

，0），離心率e=

7

4

則雙曲線的c=

7

，離心率為

7

2

，則有a=2，b²=c²-a²=7-4=3．
則雙曲線的方程為：

x2

4

-

y2

3

=1；
（2）由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1可知，a=5，b=3，∴c=4
∵P點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

102-2|PF1||PF2|-82

2|PF1||PF2|

=

36-2|PF1||PF2|

2|PF1||PF2|

=cos60°=

1

2

，
∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，∴|PF₁||PF₂|=12，
則在△F₁PF₂中，S△PF1F2=

1

2

|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂=

1

2

×12sin60°=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，考查橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積的求法，關(guān)鍵是應(yīng)用橢圓的定義和余弦定理轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力．