Question

【題目】如圖，拋物線方程為x2＝2py(p>0)，M為直線y＝－2p上任一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

試題由已知可設A，B，M(x0，－2p)；求出y′＝根據導數的幾何意義可得kMA＝ ，kMB＝；結合M(x0，－2p)得到直線MA的方程為y＋2p＝ (x－x0)，直線MB的方程為y＋2p＝ (x－x0)，將 坐標分別代入對應的直線方程整理可得x0＝，命題得證.

試題解析：

由題意設A，B，

M(x0，－2p)．由x2＝2py，得y＝ ，則y′＝ ，

所以kMA＝ ，kMB＝ .

因此直線MA的方程為y＋2p＝ (x－x0)．

直線MB的方程為y＋2p＝ (x－x0)．

又A，B分別在直線MA，MB上，

所以 ＋2p＝ (x1－x0)， ①

＋2p＝ (x2－x0)， ②

由①②得，＝x1＋x2－x0，

因此x0＝，

所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列．