【題目】在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an ， bn ， an+1成等差數列，bn ， an+1 ， bn+1成等比數列（n∈N*）
（1）求a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；由此歸納出{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論．
（2）若cn=log2（
），Sn=c1+c2+…+cn ， 試問是否存在正整數m，使Sm≥5，若存在，求最小的正整數m．
【答案】解：（1）由條件可得，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ，
則由a1=2，b1=4，可得，
a2=6，a3=12，a4=20；
b2=9，b3=16，b4=25；
猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2；
證明如下：
①當n=1時，結論成立；
②假設當n=k時成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2；
則當n=k+1時，
ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+2）（k+1），
bk+1=a2k+1÷bk=（k+2）2（k+1）2÷（k+1）2=（k+2）2；
故an=n（n+1），bn=（n+1）2對一切正整數n都成立．
（2）∵cn=log2（
）=log2
，
∴Sn=c1+c2+…+cn=log2
+log2
+…+log2=log2（n+1），
則Sm≥5可化為log2（m+1）≥5，
則m≥31，
故存在正整數m，且最小的正整數m為31．
【解析】（1）由題意，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ， 從而寫出a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；利用數學歸納法證明通項公式；
（2）由題意，cn=log2（）=log2 ， 化簡Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），從而求m．
一線名師提優試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對一個樣本容量為100的數據分組，各組的頻數如表：
區間 | [17,19) | [19,21) | [21,23) | [23,25) | [25,27) | [27,29) | [29,31) | [31,33] |
頻數 | 1 | 1 | 3 | 3 | 18 | 16 | 28 | 30 |
估計小于29的數據大約占總體的（ ）
A. 16% B. 40% C. 42% D. 58%
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【題目】函數
同時滿足：①對于定義域上的任意
，恒有
；②對于定義域上的任意
．當
,恒有
．則稱函數為“理想函數”，則下列三個函數中：
（1）
，
（2）
，
（3）
．
稱為“理想函數”的有 （填序號）
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【題目】已知定義在R上的函數y=f（x），滿足f（2）=0，函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）中心對稱，且對任意的負數x1，x2（x1≠x2），
恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為____．
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【題目】定義在區間[a，b]上的連續函數y=f(x)，如果
，使得
，則稱
為區間[a,b]上的“中值點”．
下列函數：①
；②
；③
；④
中，在區間[0,1]上“中值點”多于一個的函數序號為_________．（寫出所有滿足條件的函數的序號）
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【題目】定義域為R的函數f（x）滿足：對于任意的實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當x＜0時，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一個給定的正整數）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（2）證明f（x）為減函數；若函數f（x）在[-2，5]上總有f（x）≤10成立，試確定f（1）應滿足的條件；
（3）當a＜0時，解關于x的不等式
．
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【題目】已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且△ABC的面積S=
．
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，且
， 求邊c的取值范圍．
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【題目】若函數exf（x）（e=2.71828…，是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質，下列函數：
①f（x）=
（x>1） ②f（x）=x2 ③f（x）=cosx ④f（x）=2-x
中具有M性質的是__________.
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